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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL - ULBRA TORRES
PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU
ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: Formação docente na contemporaneidade
CLAUDIO LOVENIR DA CUNHA
TRANSPOSIÇÕES DIDÁTICAS DAS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICA NA GEOMETRIA ANALÍTICA
TORRES
2012
Monografia apresentada ao Setor de Pós-graduação da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA, para a obtenção do título de especialista em Educação Matemática sob a orientação de Professora Mestre Rosana Scandolara.Zeferino.
Dedico este trabalho a todos aqueles que contribuíram de forma direta ou indireta para conclusão do mesmo.
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Como diz Koyré: “Do desmoronamento das suas primeiras certezas, Descartes apenas salvará as que não dependem da filosofia: a crença em Deus e na Matemática.”
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RESUMO
Para a evolução do pensamento matemático foi necessário o desenvolvimento de sistemas de representação e, da compreensão dos símbolos utilizados e, depende muitas vezes do estabelecimento da comunicação entre professor e aluno. As dificuldades no uso da simbologia matemática e na manipulação de registros de representação têm causado problemas de aprendizagem de vários conteúdos. Em alguns deles Funções, na Geometria Analítica, especificamente o estudo da equação geral da reta. Os registros de representação semiótica, assim como a simbologia (signos) foram trabalhados desde o Ensino Fundamental (álgebra), contudo ainda mostram-se como fonte de incertezas. Assim por meio desta pesquisa, pretende-se compreender as razões das dificuldades encontradas por alunos do Ensino Médio no entendimento e na utilização da simbologia matemática, com intuito de auxiliar alunos e professores na comunicação em sala de aula. Também é necessário salientar que a compreensão da mesma e o trânsito entre os diferentes registros de representação podem melhorar o desempenho dos alunos em Matemática como consequência facilitar a comunicação escrita. A pesquisa foi realizada por meio de observações e atividades em sala de aula, dentro do próprio Plano de Curso, da Turma 34 da Escola Estadual de Ensino Médio 9 de Maio, do Município de Imbé. Este trabalho envolveu a análise de livros didáticos de Matemática, referentes a signos, sob a luz da Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval. Assim, pesquisamos como os livros didáticos propõem atividades referentes ao conceito da equação geral da reta, resolvido pelo processo de determinantes. Para tanto, o método utilizado foi à pesquisa qualitativa.
Palavras-chave: Livro Didático de Matemática. Obstáculos Epistemológicos. Registros de Representação Semiótica. Signos. Simbologia da Matemática.
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For the evolution of mathematical thought was necessary to develop systems of representation and understanding of the symbols used, and often depends on the establishment of communication between teacher and student. The difficulties in the use of mathematical symbols and manipulation of records of representation have caused learning problems in various content. In some functions, in Analytic Geometry, specifically the study of the general equation of the line. The registers of semiotic representation, as well as symbols (signs) have been worked since elementary school (algebra), yet still show up as a source of uncertainty. So through this research aims to understand the reasons for the difficulties encountered by high school students in understanding and use of mathematical symbols, aiming to help students and teachers in communication in the classroom. It is also necessary to emphasize that the understanding of it and the traffic between the different registers of representation can improve student performance in mathematics as a consequence facilitate written communication. The survey was conducted through observations and activities in the classroom, within the Plan Course, Class 34 of the State School High School May 9, the City of Imbé. This work involved the analysis of mathematics textbooks, referring to signs, in light of the Representation Theory of Semiotics Records of Duval. Thus, we studied how the textbooks propose activities related to the concept of the general equation of the line, determined by the process of determining. Thus, the method used was the qualitative study.
Keywords: Textbook of Mathematics. Epistemological obstacles. Semiotic Representation Registers. Signs. Symbolism of Mathematics.
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................. 8
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................................... 11
3.SEMIÓTICA ...................................................................................................... 12
3.1. UMA NOVA CIÊNCIA.................................................................................... 12
3.2. A REVOLUÇÃO SEMIÓTICA .......................................................................... 13
3.3. REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICA, ESTUDOS FEITOS POR ..................... 13
RAYMOND DUVAL ................................................................................................. 13
3.4. REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA ...................................... 17
4. OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO E A SALA DE AULA .................... 23
5. ERROS E OBSTÁCULOS ............................................................................... 24
5.1. OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS ............................................................ 25
5.2. OBSTÁCULOS DIDÁTICOS ........................................................................... 26
5.3. OBSTÁCULOS COGNITIVOS ......................................................................... 27
6. OBJETIVOS .................................................................................................... 29
7. PARÂMETROS CURRICULARES .................................................................. 30
8. METODOLOGIA DA PESQUISA ..................................................................... 34
9. GEOMETRIA ANALÍTICA .............................................................................. 38
9.1. OS PROBLEMAS EM GEOMETRIA ANALÍTICA ....................................... 38
10. ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA ............................. 39
11. HIPÓTESES DE PESQUISA ......................................................................... 44
12. PROBLEMA .................................................................................................. 45
13. DADOS DE OBSERVAÇÃO .......................................................................... 50
13.2. ANÁLISE INTERPRETATIVA DOS RESULTADOS DA PESQUISA ........ 52
15. CONCLUSÃO ................................................................................................ 56
REFERÊNCIAS BIBLIGRÁFICAS ...................................................................... 60
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1. INTRODUÇÃO
Seres humanos aprendem através de múltiplas formas, estabelecendo permanentemente relações novas com seu ambiente. Decorre disso a construção de conhecimentos, conceitos e valores. Esse processo, todavia, também decorre das exigências do meio ambiente. Por exemplo, a nova realidade tecnológica e cultural cria novos desafios e, com eles, a exigência de uma visão mais crítica e ampliada dos recursos disponíveis.
Nesse sentido, a matemática não pode ser reduzida ao cálculo, mas deve ser concebida como uma ciência que fornece um amplo instrumental para o pensamento. Ela deve ir além de números, probabilidades, lógicas e de relações ou de gráficos e variações.
Por outro lado, como qualquer forma de conhecimento, a Matemática possui também uma dimensão política e seu progresso está diretamente relacionado com o contexto social, econômico e ideológico. Embora isso passe despercebido, ignorado ou até negado, discutir ideias, fazer conjecturas e testar hipóteses matemáticas são atividades que devem preceder o desenvolvimento de questões mais formais. É neste processo que as definições adquirem significado e se obtém uma compreensão acerca das relações entre as figuras e símbolos.
Dificuldades intrínsecas à simbologia matemática, somadas aos problemas resultantes de uma visão distorcida dessa disciplina na escola, têm levado os alunos a uma apatia à disciplina (quando não a uma antipatia), e por consequência desinteressam-se pela Ciência. No ambiente escolar, um dos fatores que podem levar a essa situação, é a matemática ser conduzida de forma descontextualizada por alguns profissionais da área.
Logo, em função disso, ensinar matemática tem sido frequentemente uma tarefa árdua. Às dificuldades intrínsecas somam-se os problemas causados por uma visão distorcida da metodologia de ensino, estabelecida desde os primeiros contatos do aprendiz com a disciplina.
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Entretanto, é preciso adicionar outra questão a essa problemática, de forma ideal, o planejamento docente deveria direcionar o material didático. Contudo, os programas têm-se subordinado aos direcionamentos do livro didático.
É sabido que, na prática, a Matemática é frequentemente apresentada aos alunos como um saber já construído, sem lugar para a intuição, experimentação ou descobertas, perante o qual não é possível a argumentação. Os conceitos são apresentados já formalizados e não decorrem das ações e das reflexões dos alunos. Não se dá tempo aos alunos para sentirem a formalização como algo natural e necessário à comunicação de processos e resultados. Dessa forma, propicia-se a construção de uma imagem da Matemática como ciência abstrata, acabada e indiscutível – algo apenas compreensível e utilizável por poucos.
Ao considerar que aprender Matemática é aprender a interpretar o que nos rodeia mediante um sentido matemático, deve-se dar uma importância fundamental à natureza cultural do saber matemático, assim como ao caráter subjetivo do sentido com que cada um lê uma situação da realidade. Contudo, o tratamento dispensado a cada tema matemático depende basicamente do enfoque dado à Matemática como um todo. Assim, enquanto alguns autores de livros didáticos consideram que os conteúdos dos programas devem ser dissecados da forma mais completa, atual e elegante, outros acham mais importante à colocação oportuna dos assuntos, de uma forma acessível para quem se dispõe a pensar, independentemente de ainda não saber lidar com símbolos.
Embora em quase todas as propostas curriculares haja recomendações a respeito do uso de recursos didáticos, na prática, nem sempre há clareza do papel destes recursos no processo ensino-aprendizagem, bem como do uso adequado destes materiais, sobre os quais são projetadas expectativas indevidas.
Torna-se fundamental, assim, que os livros didáticos, em suas atividades, deem atenção especial ao contexto social, de forma que este não seja sentido como artificialmente constrangedor, mas, pelo contrário, como um
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contexto próprio para a aprendizagem de conceitos específicos, nos quais problemas, atividades e ideias são partilhados, discutidos e ganham sentido.
O presente trabalho sintetiza os principais resultados de uma pesquisa científica realizada como trabalho de conclusão do curso de pós-graduação em Matemática.
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2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
De acordo com Duval, “semioses é a apreensão ou a produção de uma representação semiótica, noésis, os atos cognitivos com apreensão conceitual do objeto” e, sem o acompanhamento dessa demonstração de consistência, não há “noésis” sem semioses”, quer dizer, não há noésis sem recursos a uma pluralidade ao menos potencial de sistemas semióticos, recursos que implica sua coordenação para o próprio sujeito.
Este trabalho está fundamentado na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval.
O presente estudo tem como tema as transposições didáticas nas representações de transformações semiótica na geometria analítica, questionamento, que o norteia gira em torno de como se dá a construção do conhecimento em Geometria Analítica e a Álgebra por alunos do terceiro ano do ensino médio da escola Estadual 9 de Maio, do Município de Imbé no mês de abril de 2012.
Em matemática, recorre-se a uma grande variedade de representações semióticas, sendo algumas delas desenvolvidas para efetuar tratamentos bem específicos. Outra razão para que se se tenha esta grande variedade de registros de representação é que, na visão tanto de Piaget quanto de Vygotsky, as representações semióticas preenchem um papel decisivo na aprendizagem.
Devido a estas características de ensino e de aprendizagem em matemática é que a escola se preocupa em elaborar e criar novas formas de representação. Cabe então, a questão: para um determinado conceito em matemática, existe uma boa representação que leve de forma suficiente à sua compreensão?
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3.SEMIÓTICA
3.1. UMA NOVA CIÊNCIA.
Historicamente, a jovem ciência denominada como Semiótica, se originou em três locais de culturas muito diferentes: União Soviética, Europa Ocidental e E.U.A. Emergindo ao mesmo tempo em espaço e paternidades diferentes, gera o inicio de uma “consciência semiótica”, ou seja, consciência da linguagem.
No E.U. A., século XIX, o filósofo, físico e matemático, C.S. Peirce iniciou a doutrina geral dos signos ao formular a teoria peirceana. Já em tenra idade, Peirce, tinha muito interesse pela Lógica e no inicio de seus estudos considerava a Lógica como um ramo da Semiótica.
Mais tarde, ao longo dos seus estudos, a integrou como sendo uma teoria geral de todos os tipos possíveis de signo emergindo então, uma teoria lógica, filosófica e cientifica da linguagem, denominando-a como Semiótica.
Na União Soviética, A.N. Viesselovski e A.A. Potiebniá foram os filósofos que enraizaram as descobertas do estruturalismo linguístico no século XX com o linguístico N.I. Marr que, e devido a desentendimentos com Stálin, não prosseguiu seus estudos. Porém, seu trabalho e seus estudos foram resgatados por L.S. Vygotsky, psicólogo, e S.M. Essentein, cineasta.
O homem, na sua inquieta investigação para a compreensão dos fenômenos, revela significações. É no homem e pelo homem que se opera o processo de alteração dos estímulos emitidos pelos objetos do mundo em signos ou linguagens – produtos da nossa consciência.
A matemática guarda uma forte dependência das formas de representações e da manipulação dos seus objetos. A história mostra vários exemplos em que determinadas noções só puderam alcançar certo nível de desenvolvimento a partir do momento em que uma notação adequada foi criada. É o caso, por exemplo, da situação encontrada com os precursores gregos da moderna geometria analítica, “Foram às deficiências das notações
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algébricas que mais fortemente operaram para impedir que os gregos construíssem uma verdadeira geometria de coordenadas.” (BOYER, p.70).
3.2. A REVOLUÇÃO SEMIÓTICA
Na direção de um novo esquema de análise do conhecimento
A emergência da álgebra como criação de um simbolismo, que vai constituir “a língua dos cálculos” segundo a célebre fórmula de Condilac (apud DUVAL. 2011 pg. 24) marca uma nova etapa no desenvolvimento do pensamento matemático. A introdução das letras no lugar das grandezas e dos números faz surgir, pela primeira vez, a questão do papel dos signos no pensamento matemático, como podemos vê-los nos trabalhos de Leibniz. O que Leibniz simbolizava por A, B, podemos escrever em notação moderna A = B, isso significava que todos os conceitos compondo o conceito A também estavam no conceito B e vice-versa. Outro exemplo que pode ser citado é a sua notação A B C, para indicar que o conceito em A e aquele em B constituem totalmente o conceito em C. Isto pode ser escrito, com a notação atual, da seguinte forma, A + B = C. É preciso lembrar que A, B, C representam os conceitos ou propriedades e não objetos individuais Além disso, Leibniz usou também a justaposição dos símbolos dos termos da seguinte maneira: AB C, que se pode escrever modernamente, como A x B = C ou A B = C.
3.3. REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICA, ESTUDOS FEITOS POR RAYMON
DUVAL
Sempre que trabalhamos no campo da Educação Matemática, seja ensinando ou pesquisando, nos apoiamos em representações para comunicar as abstrações matemáticas que ocorrem em nossos pensamentos. Isto acontece porque os objetos matemáticos não são palpáveis, mas estruturas ou relações que podem expressar situações diversas. “Assim, no ensino e na
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aprendizagem da Matemática, é necessário considerar diferentes formas de representação para este objeto”. (NEHRING, 1996).
Para compreender melhor o termo “registro de representação” é necessário conhecer um pouco mais sobre a trajetória de Raymond Duval, adentrando, em seguida, na teoria dos registros de representação.
Em sua extensa produção, Duval abordou, essencialmente, o funcionamento cognitivo na atividade matemática e nos problemas de sua aprendizagem. Ele trabalhou sobre a utilização específica da língua materna nos procedimentos matemáticos, além da compreensão de textos de matemática e da aprendizagem de diversas formas de raciocínio e argumentação. Em seu estudo sobre as diferentes representações mobilizadas pela visualização matemática, ele construiu um modelo de funcionamento cognitivo do pensamento no que diz respeito à mudança de registros de representação semiótica. Assim, sua teoria dos registros de representação mostra-se, atualmente, como um importante instrumento de pesquisa no estudo da complexidade da aprendizagem de Matemática. Isto porque, segundo Duval, uma análise do conhecimento matemático é, essencialmente, uma análise do sistema de produção das representações semióticas referentes a esse conhecimento, o raciocínio utilizado em Matemática está intimamente ligado ao uso das representações semióticas, fazendo com que toda comunicação em Matemática ocorra com base em tais representações. Com isso, a abordagem cognitiva utilizada por ele, intrinsecamente ligada ao raciocínio e à visualização matemática, tem sido adotada em muitas pesquisas, embasando trabalhos no que se refere à aquisição do conhecimento matemático e à organização de situações de aprendizagem desses conhecimentos.
Como professor de matemática do Ensino Médio, constatamos que muitos alunos apresentam dificuldades ao lidar com diversas representações gráficas e algébricas, de pontos, retas, curvas e suas funções no plano cartesiano. As pesquisas feitas sobre o ensino-aprendizagem da álgebra e da geometria analítica, de acordo com os estudos preliminares, mostraram algumas dificuldades que alguns alunos encontram na aquisição dos conceitos analíticos com a álgebra.
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O ensino tradicional vigente na maioria das escolas brasileiras aproxima-se do aluno através de uma aula expositiva em que o professor passa para quadro negro aquilo que julga importante. O aluno, por sua vez, copia do quadro negro para seu caderno e, em seguida procura fazer exercícios de aplicação, que nada mais são do que uma repetição de um modelo de solução apresentado pelo professor.
Neste sentido, o ensino tradicional acentua a transmissão de conhecimento já construída e estruturada pelo professor. Neste caso, a aprendizagem é vista como uma impressão, na mente dos alunos, de informações apresentadas em aulas.
Do ponto de vista do ensino tradicional, basta que o professor tenha domínio dos conteúdos a serem ensinados para ensinar bem. E ainda, as falhas no processo de aprendizagem são, na maioria das vezes, justificadas pela pouca atenção, capacidade ou interesse do aluno.
Em pesquisa dos documentos do I Simpósio Nacional de Ensino de Ciências e Tecnologia, - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, pagina 1101, 2009, encontramos uma pesquisa de Becker (2008),em que ele entrevista com vários professores de vários níveis de ensino, identificando nos discursos dos docentes, seis componentes sociais (mundo do objeto) que estão presentes em uma atividade docente com raiz epistemológica empirista:
a. Determinação social: Os fatores determinantes das condições prévias dos alunos para aprenderem uma determinada disciplina são vistos como produtos sociais.
b. Sentido da imagem: O conhecimento só ocorre se o professor alimentar os sentidos do aluno com imagens visuais e auditivas; a ação do aluno que é o sujeito da aprendizagem não entra em questão.
c. Motivação/desmotivação: A desmotivação do aluno é produzida socialmente e esta produção incide sobre o aluno determinando-o. A desmotivação é vista como uma qualidade nata do aluno e é culpada do fraco rendimento.
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d. Conhecimento-transmissão: O ensino é visto como simples transmissão de informações;
e. Pré-requisitos: O aluno só aprende determinado conceito se possuir pré-requisitos suficientes.
f. Dificuldades de aprendizagem: As dificuldades de aprendizagem são originadas na pouca motivação, atenção e preparo do aluno.
A aprendizagem da matemática suscita problemas de compreensão que não encontramos em outros domínios do conhecimento. Nela observamos, em particular, dois tipos de dificuldades radicalmente diferentes. No período de algumas semanas numa sequência de atividades, ou às vezes em uma única aula, aparecem as dificuldades locais. Elas estão associadas à introdução de uma nova noção ou de um novo procedimento. No período de um ano, e, sobretudo de um ciclo ou do currículo, aparecem às dificuldades globais e recorrentes. Elas estão associadas à resolução de um problema, ao raciocínio, à visualização geométrica, à visualização gráfica, à falta de transferência do que se supõe adquirido nas novas situações e nas aplicações dos conhecimentos para a realidade. Podemos evidentemente, observar essas dificuldades globais e recorrentes durante uma aula ou uma sequência de atividades, mas elas parecem se confundir com as atividades locais, por “locais” entendam-se particulares ao “conhecimento” e ao “saber” do processo de aprendizagem.
Para compreendermos as razões profundas dessas dificuldades, não é suficiente olharmos para aqueles que as sentem, ou para aqueles que não conseguem resolvê-las, ou para as tarefas e problemas que lhe passamos. Precisamos primeiro nos interrogar sobre o que é conhecimento matemático e sobre o que pode ter diferente em relação aos outros tipos de conhecimentos. Essas questões são ao mesmo tempo de ordem epistemológica e cognitiva, sem que possamos separar esses dois aspectos. A análise do conhecimento não deve considerar apenas a natureza dos objetos estudados, mas igualmente a forma como os estes nos são apresentados ou como podemos ter acesso a eles por nós mesmos.
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Essa questão de “como podemos ter acesso por nós mesmo” é evidentemente essencial para a formação e a aprendizagem em matemática.
Ela está no amago do que chamamos de compreensão e, em matemática, ela não pode se reduzir aos elementos de prova e justificação. Ela é na realidade a questão dos processos cognitivos que são mobilizados em qualquer ação do pensamento matemático.
Para o que concerne a analise do que é o conhecimento matemático, o ponto crucial repousa sobre a consideração ou não da semiósis, cuja revolução se iniciou com a emergência da álgebra e da análise e adquiriu uma amplitude sem procedentes nos séculos XIX e XX.
3.4. REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Principais noções
Nesta nova perspectiva sobre o modo de conhecer delineada na modernidade, o sujeito do sistema de representação semiótica é visto como parte integrante do processo de conhecimento. Ele é ativo e guiado pela razão. O objeto do conhecimento matemático é a idealidade matemática que precisa ser representada para ser conhecida e apreendida.
Transpondo essas idéias para aprendizagem, temos então que o sujeito do conhecimento pode ser visto como o sujeito da aprendizagem, aquele que, a partir das representações, constituídas no interior de um sistema de representação semiótica, tem acesso aos objetos do conhecimento, interpreta e apreende esses objetos.
Então, se para o desenvolvimento de uma teoria do conhecimento, ou melhor, para conhecer, é preciso dispor de um sistema de representações semióticas, para aprender também o é. Em outras palavras, a representação desempenha um papel fundamental no ensino da matemática. Essa premissa está no fundamento da noção teórica desenvolvida por Duval. Ele assume que
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o objeto matemático não pode, nem deve ser confundido com sua representação, uma vez que não é acessível diretamente à percepção e nem à experiência intuitiva. Por essa razão, as atividades sobre o objeto matemático ocorrem sempre pela sua representação semiótica, sendo essa representação, portanto, essencial à atividade cognitiva.
Para esse autor aprender matemática não é o mesmo que aprender outras disciplinas, requerendo uma atividade cognitiva diversa daquela requerida em outros domínios do conhecimento. Nesse sentido, discute a importância e a variedade das representações semióticas utilizadas em matemática, uma vez que as representações estariam cumprindo várias funções primordiais, tais como a ”comunicação”, para tornar visíveis e acessíveis as representações mentais; o desenvolvimento das representações mentais, que dependem da interiorização das representações semióticas; na realização de diferentes funções cognitivas, como objetivação (expressão interna, que se presta ao entendimento particular) e tratamento; a produção de conhecimento, já que há uma grande variedade de representações semióticas existentes, de um mesmo objeto matemático.
Representar, tratar e converter registros de representação semiótica é argumentos fundamentais na proposta teórica de Duval, que acredita ser necessário mobilizar sistemas cognitivos específicos para cada atividade matemática, que é essencialmente ligada às operações semióticas. Em outras palavras, para Duval só é possível conhecer, compreender, aprender matemática pela utilização das representações semióticas do objeto matemático. E vai mais além, o sujeito precisa mobilizar tais representações para verdadeiramente conhecer, ou seja, operar com elas, “converter” instantaneamente uma representação do objeto matemático dado num sistema semiótico, em outra representação de outro sistema semiótico, que for mais econômico cognitivamente, na resolução de um dado problema,
Aprofundar a compreensão das representações semióticas, enfocando a idéia dos registros de representação, visto que o ensinar matemática requer o entendimento desses diferentes registros. Duval inicia a explanação de sua teoria dizendo que a abordagem cognitiva é original na medida em que busca descrever o funcionamento cognitivo que possibilite a
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um aluno compreender, efetuar e controlar a diversidade dos processos matemáticos que lhe são propostos na sala de aula. Além disso, o autor ressalta a diferença entre a atividade cognitiva exigida pela matemática e aquela exigida por outras áreas do conhecimento, em duas características:
A primeira se refere à relevância das representações semióticas, tendo por base o desenvolvimento histórico de tais representações como condição primordial para a evolução do pensamento matemático.
Nesse sentido, a história apresenta inúmeros exemplos em que determinadas noções somente alcançaram certo nível de desenvolvimento a partir da criação de uma notação apropriada. Além disso, para o autor “O acesso aos números está ligado à utilização de um sistema de representação que os permite designar” (DUVAL, 2011), visto que os números, assim como os outros objetos matemáticos, não são observáveis com o auxílio de instrumentos.
A segunda característica está ligada ao fato de existir uma grande variedade de representações semióticas utilizada na Matemática, como os sistemas de numeração, figuras geométricas, representações gráficas, escritas algébricas, além da língua materna. Desta forma, para se referir a esses diferentes tipos usados em Matemática, Duval fala em registro de representação.
Duval ainda comenta que:
A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação(.DUVAL, 2011).
Portanto, seguindo sua linha de raciocínio, fica evidente, que a compreensão discente em Matemática pressupõe que os alunos sistematizem pelo menos dois registros de representações semióticas. E é, justamente, a aquisição desta sistematização um ponto chave no surgimento das dificuldades discentes em Matemática.
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Para entender melhor e analisar o funcionamento cognitivo da compreensão é necessário estabelecer a diferença entre os dois tipos de transformação de representações semióticas: o “tratamento” e a “conversão”.
O que Duval chamou de “tratamento” significa transformar uma representação semiótica em outra permanecendo num mesmo sistema, como, por exemplo, resolver uma equação. O resultado obtido na resolução da equação é uma representação semiótica que sofreu uma transformação (tratamento) passando de “equação” para “resultado da equação”. Por outro lado, a “conversão” significa transformar uma representação semiótica em outra, mudando de registro e conservando os mesmos objetos denotados. Segundo a teoria construtivista, o aluno deve agir sobre o objeto de ensino para compreendê-lo. Tudo que se refere ao conhecimento sem recorrer à noção de representação isto porque não existe conhecimento que possa ser mobilizado por uma pessoa sem uma atividade de representação.
As representações gráficas são representações semióticas, da mesma forma que as figuras geométricas, que a escrita algébrica ou as línguas, isto quer dizer que o representante visível (para as representações gráficas: linhas retas ou curvas, traçadas sobre um plano com eixos) têm leis de organização que lhe são próprias e que lhes permitem representar outra coisa (funções ou outros objetos matemáticos). As representações semióticas têm então dois aspectos: a forma (ou o representante) e o conteúdo (ou o representado). Existem vários registros possíveis de representação para um mesmo objeto, por exemplo, no caso da função da reta:
Neste caso a representação gráfica da equação simboliza sua escrita algébrica convertida numa representação semiótica diferente.
Em outras palavras, a representação de uma função, como, por exemplo, y = 2x - 1 no plano cartesiano é uma atividade de conversão, enquanto resolver uma equação do tipo 2x - 1 = 5 é uma atividade simbólica.
Portanto, nota-se que uma das principais características da atividade matemática é a mobilização obrigatória de uma diversidade de registros de representação semiótica. Contudo, Duval salienta que raramente essa diversidade é considerada no ensino. Muitas abordagens didáticas não levam em consideração que existe uma grande variedade de registros de
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representação de um mesmo objeto matemático, e que a articulação desses diferentes registros é condição essencial para o entendimento matemático. Isso porque cada registro de representação de um mesmo objeto possui diferente conteúdo ou propicia uma representação parcial em relação àquilo que ela quer representar, sendo fundamental a compreensão e articulação de todos esses registros para alcançar uma visão total e multifacetada do objeto analisado.
Com isso, no que tange à pluralidade das representações, Duval afirma:
As representações diferentes de um mesmo objeto, não têm evidentemente o mesmo conteúdo. Cada conteúdo é comandado por um sistema pelo qual a representação foi produzida. Daí a consequência de que cada representação não apresenta as mesmas propriedades ou as mesmas características do objeto. Nenhum sistema de representação pode produzir uma representação cujo conteúdo seja completo e adequado ao objeto representado. (DUVAL, 2009)
Assim, de acordo com Duval, fica evidente que para um determinado conceito em Matemática não há uma representação suficientemente boa para conduzir à sua compreensão. Portanto, a conceitualização implica em uma coordenação de diferentes registros de representação.
Duval, baseado nas ideias de Piaget e Vygotsky, diz que o desenvolvimento das representações mentais acontece como uma interiorização das representações semióticas. Além disso, coloca que as capacidades cognitivas do indivíduo são aumentadas pela possibilidade de diversificar a representação de um mesmo objeto, e por consequência, potencializa suas representações mentais. Essas colocações nos remetem às idéias preconizadas por Pierce a respeito do signo. Nas palavras de Peirce “Um signo, ou representam, é aquilo que, sob certo aspecto ou modo, representa algo para alguém”. Este “algo”, mencionado por Pierce, é a coisa representada, o objeto. O signo desse objeto cria na mente interpretadora outro signo que traduz o significado do primeiro, chamado “interpretante”. Em relação a esta apresentação de Peirce, Duval afirma:
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Observemos que esta definição minimalista2 vale também para as imagens mentais quanto para os signos (os símbolos matemáticos), ou para as fotografias e as palavras da língua! Esta definição em razão de sua generalidade, não faz diferença entre o que é mental (por exemplo, lembrar-se de...) e o que é material (fotografias tomadas com a ajuda de um autofoco). (DUVAL, 2011)
2 .minimalista 2. Algoritmo matemático
O homem só conhece o mundo porque, de alguma forma, o representa e só interpreta essa representação numa segunda representação, que Peirce denomina interpretante da primeira. Segundo, Santanela, “signo é uma coisa de cujo conhecimento depende do signo, isto é, aquilo que é representado pelo signo”. Daí, que, para nós, o signo seja o primeiro, o objeto de um segundo e o interpretante um terceiro. Para conhecer e se conhecer o homem se faz signo e só interpreta esses signos traduzindo-os em outros signos.
Em síntese: compreender, interpretar é traduzir um pensamento em outro pensamento num movimento ininterrupto, pois só podemos pensar um pensamento em outro pensamento.
Esta definição pode parecer pobre, mas de acordo com Duval, ela “permite prontamente distinguir a representação e o objeto que ela representa. É esta distinção, e não somente a noção de representação que é fundamental para a análise do conhecimento, uma vez que ela mostra imediatamente duas questões: relativas à sua relação e a sua não confusão”.
Com isso, Duval formulou sua hipótese fundamental de aprendizagem que coloca a compreensão total de um conceito na coordenação de, ao menos, dois registros de representação e essa coordenação se manifesta pela rapidez e espontaneidade.
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4. OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO E A SALA DE AULA
Entendemos, a partir do que foi visto, que o aprendizado da Matemática e, consequentemente, a formação dos conceitos relacionados a esta Ciência, presumem que o aluno consiga atribuir significado a sua linguagem, de forma que os registros ou formas de representação dos conceitos permitam que ele possa diferenciar relacionar, comparar, visualizar, substituir, interpretar, construir e analisar soluções de problemas relacionados aos diversos objetos matemáticos, em um sistema de comunicação comum a este conhecimento o domínio das diferentes linguagens é inerente ao ensino e à aprendizagem de Matemática, de forma que os registros de representação, desde os desenhos até a escrita algébrica, se fazem essenciais no processo de evolução dos conceitos discentes. Além disso, nós, docentes, necessitamos compreender melhor como se processa a relação entre registros de representação e a sua utilização como ferramenta na construção de conceitos e na resolução de problemas dentro do cotidiano escolar.
Analisando essa relação entre os registros de representação e a sua utilização como ferramenta na construção de conceitos, é possível observar que é por meio da interpretação e manipulação das informações expressas em diversas linguagens que o aluno tenta traduzir essas informações naquelas que lhe são familiares, fazendo delas ferramentas no tratamento da situação para chegar à solução. Contudo, se o professor tornar familiar para os alunos o trânsito entre os registros, poderá provocar uma mudança de estratégias, fazendo com que eles passem a utilizá-los mesmo em situações em que é permitido escolher outras ferramentas para resolver o problema.
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5. ERROS E OBSTÁCULOS
A teoria das situações didáticas analisa as diferentes formas de apresentação do conteúdo matemático ao aluno.
O significado do saber matemático escolar para o aluno dependerá da estruturação das diferentes atividades de aprendizagem através de uma situação didática.
As situações didáticas devem efetuar não a simples comunicação de um conhecimento, mas a devolução de um problema. A devolução é a transferência de responsabilidade, uma atividade na qual o professor, além de comunicar o enunciado procura agir de tal forma que o aluno aceite o desafio de resolvê-lo como se os problemas fossem seus, e não somente porque o professor quer. Se o aluno toma para si a convicção de sua necessidade de resolução do problema, ou seja, se ele aceita participar desse desafio intelectual e se ele consegue sucesso nesse empreendimento, então se inicia o processo de aprendizagem, a assimilação dos signos matemáticos. “Os signos não têm nenhuma realidade sensível própria, seja ela fônica ou gráfica, podemos apenas distingui-lo como unidade de sentido com base em suas relações de oposição com outros signos” (DUVAL, 2009, pag. 70) Assim, o que constitui qualquer coisa com o signo não é a sua utilização com a finalidade de comunicação, em seu emprego, um signo reenvia a um ou vários outros signos aos quais ele se opõe, formando assim um sistema que determina suas possibilidades de utilização, de funcionamento, assim como as condições de interpretação. Os registros de representação e os códigos são sistemas semióticos radicalmente diferentes.
Do ponto de vista cognitivo, a diferença entre registro e códigos não está na maior ou menor complexidade dos sistemas semióticos e seu tipo de produção. Ela está no fato de que os registros abrem possibilidades de transformação do conteúdo das representações produzidas, o que os códigos não permitem. Assim, na matemática, o conhecimento matemático não começa com as representações semióticas dos “conceitos” ou dos objetos matemáticos, mas com suas transformações.
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Essas transformações são as operações semióticas e um registro se caracteriza pelas operações semióticas que lhe são específicas.
De acordo com Duval, “mudar de registro de representação não é só mudar o conteúdo da representação de um objeto, é mudar as operações semióticas a realizar para transformar o conteúdo da nova representação”. As operações semióticas próprias aos diferentes registros utilizados na matemática constituem os gestos intelectuais necessários e não importa qual atividade matemática.
5.1. OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS
Com um olhar diferenciado, Bachelard percebe que os erros surgidos ao longo da construção da ciência, que foram omitidos ou desconhecidos pela história tradicional, podiam auxiliar a detectar os vários obstáculos epistemológicos surgidos ao longo da história da ciência, possibilitando assim, um melhor conhecimento do caminho percorrido pela ciência.
Somente é possível a aquisição de um novo conhecimento pelo sujeito quando, no ato de conhecer, houver a superação dos conhecimentos adquiridos anteriormente, carregados de crenças, mitos, de concepções baseadas no senso comum, conhecimentos esses que foram mal estabelecidos, e que já estão sedimentados. É, então, Bachelard, 1938, “A formação do conhecimento científico”, dizia:
“... em termos de obstáculos que o problema do conhecimento científico deve ser colocado (...) é no âmago do próprio ato de conhecer que aparecem, por uma espécie de imperativo funcional, lentidões e conflitos. É aí que mostraremos causas de estagnação e até de regressão, detectaremos causas de inércia as quais daremos o nome de obstáculos epistemológicos”. (BACHELARD, 1938)
E que a evolução de conhecimento passa pela rejeição de conhecimentos anteriores e aparecimento de obstáculos. Estes são por existirem conhecimentos, e não por não existirem.
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A matemática, particularmente, apresenta uma regularidade, parecendo não ter erros ou rupturas, aparenta linearidade. Isso, no registro histórico. Essa regularidade só existe na fase da formulação do texto matemático. Na fase inicial não há linearidade e sim conflitos intensos na criação do saber.
Esses obstáculos que aparecem na fase de criação não estão expostos na redação do saber. Aparece na fase da aprendizagem e síntese do conhecimento e não na fase de seu registro histórico.
Todos os avanços, retrocessos, dúvidas e erros cometidos na hora de fazer a conjectura, não aparecem no resultado final apresentado pelo texto científico.
Isso faz com que a noção seja de interesse para a didática, já que no ensino escolar é preciso, às vezes, que haja fortes rupturas com o saber cotidiano, caracterizando a ocorrência de uma revolução interna. Uma das principais critica quanto à utilização da idéia de obstáculos epistemológico para interpretar o fenômeno da aprendizagem escolar é a forma precipitada com que ela é transferida do contexto histórico da filosofia das ciências para o contexto pedagógico. Portanto, a noção de obstáculo didático possibilita se descobrir e compreender as dificuldades encontradas pelos alunos no processo de ensino/aprendizagem do conhecimento matemático, com o intuito de buscar instrumentos didáticos que auxiliarão os alunos a superá-los.
5.2. OBSTÁCULOS DIDÁTICOS
É conhecimento que se encontram relativamente estabilizado no plano intelectual e que podem dificultar a evolução da aprendizagem do saber escolar.
O avanço das idéias cientifica pode ser ameaçado ou até mesmo obstruído por concepções que predominam no imaginário cognitivo. O conhecimento antigo atua como força contrária à realização de uma nova aprendizagem. A evolução do conhecimento encontra-se, então, estagnada até o momento que ocorrer uma ruptura epistemológica com os saberes que
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predominam por certo período. Num caso extremo, a obstrução do conhecimento antigo pode até provocar uma regressão do nível de compreensão.
Ligando o assunto a nossa área de ensino de matemática, é preciso entender como ocorre à reorganização intelectual de modo que o novo conhecimento entre em harmonia com os anteriores, sendo esse o momento em que os obstáculos se manifestam.
Os obstáculos didáticos envolvendo demonstrações de geometria. Os tipos de problemas, observados em livros didáticos, em geral, não propõem questões envolvendo demonstração. A passagem da geometria empírica para a geometria de dedução é um obstáculo para a demonstração.
Muitos professores deixaram de incentivar os alunos a fazerem quaisquer demonstrações, justificando que não dá tempo nem de ensinar Geometria quanto menos para demonstrar teoremas. A aprendizagem da demonstração tem ocorrido muitas vezes por analogia. O professor propõe um modelo submetido à observação e o aluno é levado a imitar o método de resolução, numa situação simular. E os alunos têm dificuldades em mobilizar os saberes.
5.3. OBSTÁCULOS COGNITIVOS
Ao analisarmos os “programas” de Matemática para o ensino médio verificamos que a seleção dos conteúdos é determinada em função da estrutura da disciplina que é formal e dedutiva, incompatível com o desenvolvimento do pensamento dos adolescentes neste nível. Se as proposições metodológicas e curriculares não respeitam os mecanismos que favoreçam o desenvolvimento cognitivo desses adolescentes, como se dá o conhecimento entre a Geometria Analítica e a Álgebra?
Quais são as dificuldades discentes no uso e na compreensão da simbologia matemática?
E, a partir deste problema, emergem as seguintes questões de pesquisa:
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Quais as maiores dificuldades perceptíveis no uso da simbologia matemática em relação aos conteúdos da Álgebra e a Geometria Analítica?
Em que circunstâncias surgem às dificuldades discentes com simbologia matemática relativa à Álgebra e a Geometria Analítica
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6. OBJETIVOS
OBJETIVO GERAL
Esta pesquisa visa compreender as razões das dificuldades encontradas pelos alunos no entendimento e utilização da simbologia matemática.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
a. Verificar a aplicabilidade da Teoria de Duval;
b. Comparar a aplicabilidade da Teoria de Duval, com outros pesquisadores;
c. Inferir se o conhecimento dos adolescentes por meio de níveis de assimilação com demonstração concreta é verdadeira;
d. Confirmar se a ausência do acompanhamento da demonstração não há apropriação do conhecimento das representações.
e. Identificar as principais dificuldades de compreensão no uso da simbologia em relação aos conteúdos da Álgebra e a Geometria Analítica.
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7. PARÂMETROS CURRICULARES
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de Matemática para o Ensino Médio representam um documento curricular oficial de referência para a organização de propostas curriculares das secretarias de educação estaduais, desde sua elaboração em 1998. Neles estão presentes filosofias e intenções determinadas que passem a ser colocadas em prática quando utilizadas na elaboração das propostas específicas de um Estado, Município e particularmente, das escolas.
Em outras palavras, queremos dizer que existe uma intencionalidade subjacente à proposta apresentada nos PCNs, e que justamente por se constituir um documento utilizado na construção das propostas curriculares, se torna importante analisar se a questão das representações semióticas é considerada, em algum momento, na proposta presente nos documentos impressos dos PCNs de Matemática para o Ensino Médio.
A partir disso, é apresentado um resgate histórico sobre as reformas curriculares na matemática que aponta a existência da busca de soluções criativas e inovadoras para o ensino. Contudo, apesar dessas tentativas serem válidas e incentivadas oficialmente, ainda se apresenta de forma isolada.
Ao traçar o panorama sobre o ensino da matemática no Brasil, o documento aponta que em termos escolares um dos entraves comuns é o fato dos conteúdos matemáticos serem tratados de forma isolada, apresentados exaustivamente num único momento, e quando retomados, geralmente não se estabelecem as devidas conexões. São apresentados apenas como ferramentas para a compreensão de novas noções. Na compreensão de como se superaria tal situação aparece o primeiro traço que podemos relacionar à idéia das representações semióticas: “De modo geral, parece não se levar em conta que, para o aluno consolidar e ampliar um conceito, é fundamental que ele o veja em novas extensões, representações ou conexões com outros conceitos.” Essa última afirmação nos parece claramente uma alusão às idéias de Raymond Duval, quando ele afirma que para existir conceitualização, ou
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seja, a real compreensão do conceito estudado, deve também existir o trânsito e a coordenação entre os diversos registros de representação semiótica do mesmo objeto matemático em estudo. O fato de haver uma referência bibliográfica de Duval, nos PCNs, corrobora nesta afirmação, no entanto, essa idéia não é desenvolvida claramente.
De um modo geral, a proposta apresentada pelos PCNs para o ensino da matemática é articulada em torno de discussões a respeito da área de conhecimento partindo do caráter histórico, ou seja, da natureza do saber matemático. Esse é concebido como sendo “algo flexível e maleável às inter-relações entre os seus vários conceitos e entre os seus vários modos de representação, e, também, permeáveis aos problemas nos vários outros campos científicos”.
Aqui detectamos um segundo traço que parece apontar para a utilização dos elementos da noção teórica dos registros de representação semiótica. No entanto, ao olhar para o panorama histórico ressaltado no documento, observa-se que o mesmo não faz menção, por exemplo, sobre o papel, o funcionamento e a constituição de um sistema de representação semiótico como modelo para a aquisição do conhecimento matemático. O que seria necessário apontar, caso fosse esse um ponto a ser defendido na compreensão da natureza do saber matemático como um saber dado na ordem da representação.
Um dos objetivos gerais para o ensino da matemática no Ensino Médio, destacado pelos PCNs é: “estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares”. Nesse objetivo, observamos um forte pressuposto para o trabalho com as representações semióticas dos objetos matemáticos, pois a partir das diferentes representações do mesmo objeto, poderão estar sendo realizadas as conexões entre os campos temáticos considerados nos Parâmetros.
No que diz respeito à seleção de conteúdos para o Ensino Médio, o documento explicita, e não deixa dúvida sobre a primazia da estrutura
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conceitual presente nas orientações. Em nenhum momento faz referência a um trabalho com as diferentes representações do mesmo objeto matemático, no sentido de aprimorar o desenvolvimento do conceito. Aborda sim, a questão de procedimentos e atitudes:
A seleção de conteúdos (...) pode se dar numa perspectiva mais ampla (...). Dessa forma, pode-se considerar que os conteúdos envolvem explicações, formas de raciocínio, linguagens, valores, sentimentos, interesses e condutas. Assim, nesses parâmetros os conteúdos estão dimensionados não só em conceitos, mas também em procedimentos e atitudes. Conceitos permitem interpretar fatos e dados e são generalizações úteis que permitem organizar a realidade, interpretá-la e predizê-la. (...) Os procedimentos por sua vez estão direcionados à consecução de uma meta (...). Os procedimentos não devem ser encarados apenas como aproximação metodológica para aquisição de um dado conceito, mas como conteúdos que possibilitem o desenvolvimento de capacidades relacionadas com o saber fazer, aplicáveis a distintas situações. As atitudes envolvem o componente afetivo - predisposição, interesse, motivação - que é fundamental no processo de ensino e aprendizagem.
Além da integração curricular evidente, acreditamos ser cabível pensar numa abertura para a questão do trabalho com as diversas representações semióticas do mesmo objeto matemático, possibilitando uma compreensão mais ampla dos conceitos e propiciando uma superação da organização linear e hierárquica dos conteúdos.
Outra consideração que leva a essa direção, é a de que, “as possibilidades de sequenciar os conteúdos são múltiplas e decorrem mais das conexões que se estabelecem e dos conhecimentos já construídos pelos alunos do que da idéia de pré-requisito ou de uma sucessão de tópicos estabelecida a priori”.
Nota- se, que as Orientações Curriculares propõem de forma implícita, para a Geometria Analítica, um trabalho com atividades que promovam a conversão entre os registros algébrico e gráfico, interpretando geometricamente o uso de parâmetros em equações.
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O estudo das propriedades geométricas de uma figura com base em uma equação (nesse caso, são as figuras geométricas que estão sob o olhar da álgebra);
O estudo dos pares ordenados de números (x, y) que são soluções de uma equação, por meio das propriedades de uma figura geométrica (nesse caso, é a álgebra que está sob o olhar da geometria)
Esses dois aspectos merecem ser trabalhados na escola. O trabalho com a geometria analítica permite a articulação entre geometria e álgebra. . Para que essa articulação seja significativa para o aluno, o professor deve trabalhar as duas vias: o entendimento de figuras geométricas via equações, e o entendimento de equações, via figuras geométricas.
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8. METODOLOGIA DA PESQUISA
Novas propostas metodológicas requerem novas atitudes por parte tanto dos alunos, como dos professores, ou seja, devemos repensar a relação do aluno com o conhecimento, a sua participação em sala de aula, o papel do professor no processo de ensino/aprendizagem e o enfoque dado à matemática.
Nesse ponto de vista, não basta ao professor ter o total domínio dos conteúdos matemáticos, mas sim, além disso, ter um profundo conhecimento daquele a quem deseja transmitir o saber e ter o domínio das várias possibilidades metodológicas de transpor tal saber ao aluno.
A partir da prática diária em sala de aula e as percepções acerca de sua dinâmica proporcionaram um estudo que visou buscar por fundamentações teóricas que permitisse conhecer melhor a geometria analítica e a álgebra linear que vem sendo ensinada nas escolas de ensino médio e a situação dessa área no âmbito de ensino aprendizagem de Geometria Analítica.
Desta forma, buscamos escolher o método mais apropriado à realidade da pesquisa, tendo em vista os pressupostos previamente assumidos. A realização deste trabalho foi iniciada com o estudo de um problema que despertou nosso interesse como professor, focalizando um olhar nas dificuldades relacionadas com a simbologia e com alguns tipos de registros de representação em Matemática ocorridas no Ensino Médio. Com isso, promovemos o confronto entre os dados coletados sobre essas dificuldades e o conhecimento teórico acerca do tema em questão.
O estudo de caso, frequentemente utilizado em estudos organizacionais, de acordo com (YIN, 2001, apud TEIXEIRA, 2003), “é uma estratégia de pesquisa que busca examinar um fenômeno contemporâneo dentro de seu contexto”.
“Esta metodologia se caracteriza pelo estudo profundo e exaustivo de um ou poucos objetos, de maneira a permitir conhecimento amplo e detalhado do mesmo” (GIL, 1999, apud TEIXEIRA, 2003). A análise de algumas unidades de determinado universo, no entender de Gil 1987, apud Teixeira, 2003
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“possibilita a compreensão da generalidade dos objetos ou, pelo menos, o estabelecimento de bases para uma investigação posterior, mais sistemática e precisa.” O referido autor, contudo, frisa que a relevância dos resultados obtidos neste tipo de delineamento depende do estudo de certa variedade de casos, os quais, de modo geral, não são selecionados mediante critérios estatísticos. Alguns critérios, todavia, devem ser observados (GIL, 1987; MATTAR, 1996 apud TEIXEIRA, 2003): “buscar casos típicos, em que há informação prévia da existência de determinadas práticas; selecionar casos extremos, os quais se apresentam nos limites de determinadas práticas; e encontrar casos marginais, atípicos ou anormais para, por contraste, conhecer as pautas dos casos normais e as possíveis causas do desvio”. Vale ressaltar ainda que o estudo de caso pode ser combinado com outro tipo de pesquisa qualitativa, como genérica ou básica, etnográfica, fenomenológica ou “grounded theory”.
O investigador num estudo qualitativo, conforme já mencionado anteriormente, é considerado como instrumento humano primário na coleta e análise dos dados referentes ao fenômeno em investigação, (MERRIAM 1998, apud TEIXEIRA 2003) aponta certas características de personalidade e habilidades necessárias a um investigador de pesquisa qualitativa: “ter tolerância por ambiguidade, ter sensibilidade ou ser altamente intuitivo e ser um bom comunicador”.
[...] num estudo quantitativo o pesquisador conduz seu trabalho a partir de um plano estabelecido a priori, com hipóteses claramente especificadas e variáveis operacionalmente definidas. Preocupa-se com a medição objetiva e a quantificação dos resultados. Busca a precisão, evitando distorções na etapa de análise e interpretação dos dados, garantindo assim uma margem de segurança em relação às inferências obtidas (GODOY, 1995a, p. 58 apud TEIXEIRA, 2003).
Uma vez que o problema de pesquisa foi identificado, cabe então ao investigador decidir sobre seleção da amostra, como serão coletados os dados,
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quem e quantos participantes serão entrevistados ou observados, que documentos serão lidos, e assim por diante (MERRIAM, 1998, apud TEIXEIRA,
2003). Com relação ao universo e amostra, (VERGARA 1997, GIL 1999 apud TEIXEIRA 2003) considera o primeiro um conjunto de elementos (organizações, produtos, pessoas...) que possui as características que serão objetos de estudo, enquanto que amostra é uma parte do universo, escolhida segundo algum critério de representatividade.
As técnicas de coleta de dados predominantemente utilizadas na pesquisa qualitativa nas perspectivas fenomenológico-interpretativa ou crítica/dialética são: entrevista, observação, usa de diários e análise documental.
Como esta é uma pesquisa qualitativa, é proposital a escolha do campo onde serão colhidos os dados, bem como de seus participantes. Deste modo, escolhemos a escola onde trabalhamos para realizar a pesquisa, tendo como participantes uma turma do 3º ano do Ensino Médio. Esta turma é formada por trinta e sete alunos do noturno que moram nas proximidades da escola. A referida escola é pública, situada no centro da cidade Imbé, realizamos observações seguindo um roteiro, que apontava para pontos específicos a serem observados, contudo sem que este estabelecesse uma ordem rígida aos acontecimentos.
Estas ocorreram num período de dois meses, três vezes por semana, encontros de aproximadamente uma hora. Nas observações iniciais, a pretensão era mapear a realidade estudada e perceber aspectos relevantes à investigação. Nas observações subsequentes, direcionamos o foco para o estudo das dificuldades com os registros de representação que apareciam nas aulas.
Outro procedimento bastante utilizado em pesquisas qualitativas é a análise de documentos. Segundo Alves-Mazotti (1998), “considera-se como documento qualquer registro escrito que possa ser usado como fonte de informação”. Tendo em vista o ambiente escolar, livros didáticos, registros escolares, planos de aula, trabalhos de alunos são documentos bastante utilizados. A análise de documentos pode ser combinada com outras técnicas de coleta, permitindo que os instrumentos sejam complementares e forneçam
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uma quantidade rica de dados para pesquisa. A respeito disso, Alves-Mazzotti comenta:
”Nesses casos, ela pode ser usada, tanto como uma técnica exploratória (indicando aspectos a serem focalizados por outras técnicas), como para “checagem” ou complementação dos dados obtidos por meio de outras técnicas” (ALVES-MAZZOTTI, 1998).
Tendo isso em vista, elaboramos uma atividade específica dentro do Plano de Curso do primeiro trimestre, que diz respeito à Geometria Analítica abordando o conteúdo trabalhado em sala de aula, atentando para os diferentes tipos de registros de representação utilizados e a transição entre eles.
Porém, não existia uma ordem rígida para as perguntas, de modo que outros questionamentos emergiram durante os encontros, porque, “como investigadora, devo tentar compreender o significado atribuído pelos alunos às situações ou processos de sua realidade”, (ALVES-MAZZOTTI, 1998).
Segundo a mesma autora, as pesquisas qualitativas usam uma grande variedade de procedimentos e instrumentos de coletas de dados, sendo que essa multiplicidade de instrumentos permite uma triangulação, garantindo maior fidedignidade ao processo no cruzamento de dados, e, aumenta, assim, a validade dos resultados.
Para trabalhar com os dados obtidos a partir dos instrumentos de pesquisa, foram elaboradas:
- descrições das observações;
- descrições das respostas dos alunos, com comentários sobre os tipos de erros encontrados;
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9. GEOMETRIA ANALÍTICA
9.1. OS PROBLEMAS EM GEOMETRIA ANALÍTICA
Desde suas origens, a geometria analítica é um campo privilegiado para as conexões entre a álgebra e a geometria. É sabido que a escolha de um sistema de coordenadas permite que se estabeleça uma estreita relação entre, de um lado, figuras geométricas e, do outro, equações (ou inequações) envolvendo as coordenadas dos pontos. Na geometria analítica, tanto resolvemos problemas geométricos recorrendo a métodos algébricos, quanto atribuímos significado geométrico a fatos algébricos.
As figuras geométricas estudadas são, essencialmente, as retas, as circunferências e as cônicas. Nota-se que, em geral, a abordagem adotada nos livros é muito fragmentada. Por exemplo, no estudo da reta, há vários tipos de equação, apresentados isoladamente e com igual destaque, ao invés de se priorizar uma delas, à qual seriam relacionadas às demais.
São importantes as conexões da geometria analítica com outros tópicos como: gráficos de funções; representações geométricas dos sistemas lineares; matrizes de transformações geométricas. Apesar disso, ainda são poucas as coleções que valorizam essa articulação tanto ao tratar dos sistemas lineares, funções e matrizes, quanto no estudo geometria analítica.
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10. ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
A formação dos alunos no ensino médio deve levar em conta fatores diversos, como o respeito ao contexto social, à diversidade e à pluralidade; deve promover o desenvolvimento das capacidades de inferir, argumentar, pesquisar, produzir e deve estar em consonância com as múltiplas finalidades do ensino médio, estabelecidas pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB, 9394/96).
As ações metodológicas dos professores, conforme apontam os Parâmetros Curriculares Nacionais, hoje, são baseadas quase exclusivamente nos livros didáticos (BRASIL, 2006).
Outro fato notório é que, alguns livros didáticos, estão descontextualizados e seus autores não se preocuparam com o desenvolvimento teóricos tais como; teorema, demonstração, comprovação, caso típico da condição de alinhamento de três pontos no plano cartesiano, a equação da reta na geometria analítica, não explicam claramente como se dá o desenvolvimento do método pela Regra de Sarrus, discriminante, e pouquíssimos fazem relação de um conteúdo com aqueles que são pré-requisitos.
De maneira geral, a prática escolar trata a compreensão de textos com base em duas premissas: (a) a compreensão de textos se desenvolve automaticamente a partir do domínio do código; e (b) os exercícios contidos nos livros didáticos desenvolvem a compreensão de textos. Críticas ao primeiro ponto são feitas, tomando por base evidências empíricas que mostram que muitos alunos sem problemas ao nível da palavra (decodificação, vocabulário) apresentam dificuldades em compreender o que leem, sobretudo em relação ao estabelecimento de inferências. Quanto ao segundo ponto, à contribuição dos livros didáticos para a compreensão é bastante questionada. Analisando as atividades de compreensão de textos presentes em livros didáticos amplamente adotados no ensino médio de escolas públicas, verificou-se que a grande maioria dos exercícios requer do aluno apenas a cópia de passagens
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algébricas do texto a ser interpretado; e que apenas a inexpressiva porcentagem das perguntas sobre o texto endereçadas aos alunos requeriam o estabelecimento de inferências.
No último ano do ensino médio, inserido no contexto da geometria analítica, o estudo do alinhamento de três pontos na reta, ou a equação geral da reta não demonstra satisfatoriamente como se dá a conclusão que leva a demonstração pelo processo do determinante de três pontos alinhados, pela Regra de Sarrus, (lê-se Sarri, pesquisador francês), onde a coluna independente assume valor igual à unidade, sem explicar que qualquer número multiplicado por um não modifica o resultado, mas como que por magia, uma matriz de ordem dois, assume o papel de matriz de ordem três.
Diante desse contexto, organizamos o trabalho de pesquisa, selecionando dezenove livros didáticos, alguns utilizados por professores da Educação do Ensino Médio. A análise dos livros didáticos selecionados para a pesquisa foi norteada pelos seguintes critérios: 1- classificação das atividades em situações-problema e problemas “fechados”; 2- articulações entre os campos da Matemática e/ou conexões da Matemática com outras áreas do conhecimento e com situações do cotidiano; 3- tratamentos explorados e enfatizados; 4- conversões exploradas e enfatizadas, bem como os sentidos privilegiados; 5- procedimentos abordados e enfatizados no registro gráfico: globais ou pontuais.
Apresentaremos, a seguir, os principais resultados da análise dos livros didáticos dos quais seis foram selecionados para a pesquisa, por serem os mais atualizados.
O primeiro critério incluiu a classificação das atividades em situações-problema e problemas “fechados”. Classificamos como sendo situações-problema as atividades em que o conceito de equação da reta é descontextualizado, tanto para desencadear o conceito de equação e conteúdos atrelados a esse conceito, este são confirmados pelo PNLEM (2006). Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio.
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Longen, Adilson, Coleção Nova Didática, Ed. Positivo. 2004. Síntese avaliativa: Objetivamente, no 3º volume, o autor se refere à Equação de reta, faz uma referência do postulado da Geometria Euclidiana, estabelece uma forma de verificar quando três pontos, a partir de suas coordenadas, estão ou não alinhados, utilizando o Teorema de Tales, mas em seguida comenta e demonstra o alinhamento a partir do determinante de uma matriz com três linhas e três colunas. Mas em momento algum comenta o aparecimento da 3ª coluna com o número 1.
Os tópicos são, em geral, introduzidos com base em situações-problema e o desenvolvimento dos conteúdos é conduzido gradualmente e de maneira a envolver o aluno no processo. No entanto, faltam às devidas justificativas, há muitas fragmentações, com muitas subdivisões, o que dificulta uma visão mais geral desse campo.
Bianchini, Edwaldo Roqltadue, Matematica, Ed.. Moderna, 2004. Síntese avaliativa: Objetivamente, no 3º volume, pág. 52 a maioria dos exercícios limita-se à aplicação de regras e fórmulas vistas na parte teórica do livro. O estudo esta muito fragmentado internamente e pouco relacionado com o estudo de funções.
O exemplo apresentado indica o processo do determinante, Regra de Sarrus, mas não faz nenhuma referencia a 3ª coluna com o número 1.
Na metodologia de ensino-aprendizagem adotada, espera-se que o aluno leia e interprete o texto de apresentação e seguida, resolva problemas em classe. O aluno tem poucas oportunidades de inferir conceitos ou procedimentos, pois estes, em geral, já são apresentados em forma sistematizada.
Paiva, Manoel Rodrigues, Matematica, Ed. Moderna Ltda. 2009. Síntese avaliativa. Objetivamente, no 3º volume, pag. 52, o autor traz uma explicação de determinantes na geometria analítica, mas não faz nenhuma referencia a 3ª coluna com o número 1.
Na metodologia propostas são pouco frequentes as que proporcionam o desenvolvimento de competências mais elaboradas, tais como conjecturar, argumentar, validar, enfrentar desafios, realizar cálculos mentais, as explicações didaticamente não são claras na apresentação dos conteúdos.
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Guelli, Oscar Augusto, Ed. Ática, 2003. Síntese avaliativa. Objetivamente, no 3º volume, pág. 125, os conceitos e procedimentos, com alguns exemplos e problemas resolvidos, e propor exercícios de aplicação sem estimular a participação ativa do aluno na aquisição do conhecimento. O autor faz uma comparação com um postulado da Geometria Euclidiana e comenta como deve ser na Geometria Analítica, apresenta um exemplo pronto, com desenvolvimento através Regra de Sarrus, mas não faz referencia a 3ª coluna com o número 1.
A metodologia de ensino-aprendizagem consiste na explicação dos conceitos e procedimentos já sistematizados, com alguns exemplos e problemas resolvidos. Fica a cargo de o professor incentivá-lo a desempenhar um papel mais ativo na aquisição do conhecimento.
Smole, Kátia Cristina Stocco, & outros, Matemática. Editora. Saraiva, 2009. Síntese avaliativa. Objetivamente, 3º volume, pag.50. A autora faz uma referencia da geometria analítica; álgebra e geometria.
Generalizando:
Sejam r a reta determinada pelos pontos A (xa, Ya) e B (Xb, Yb) distintos (logo, xa ≠ xb ou ya ≠ yb) e P (x,y) um ponto qualquer de r. Pela condição de alinhamento de P.,A e B.
Fazendo Ya – Yb = a, Xb – Xa = b e XaYb - XbYa = C, temos:
ax + by + c = o, onde a≠o ou b≠0, temos a seguinte propriedade:
A cada reta r do plano cartesiano associamos uma equação da forma ax + by + c = 0, onde, a, b e c são números reais, com a ≠ 0 ou b ≠ 0, e (x, y) são as coordenadas de um ponto qualquer de r.
Após a demonstração, a autora analisa a validade da sua recíproca.
Sejam A (Xa, Ya) e B (Xb, Yb) pontos distintos e P (x,y) um ponto qualquer, cujas coordenadas satisfazem a equação ax + by + c = 0, com a, b, e c reais e a Temos:
{
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Que é um sistema linear homogêneo em a, b, e c, com soluções diferentes da solução nula.
Logo: = 0, ou seja, A, B e P são colineares.
Portanto, podemos enunciar que:
A toda equação da forma ax + by + c = 0, com a, b e c reais, a ≠ 0 ou b .
Corresponde uma única reta r do plano cartesiano, cujos pontos têm coordenadas satisfazendo a equação geral da reta.
A metodologia de ensino-aprendizagem contribui para a compreensão dos conceitos e procedimentos matemáticos e para o desenvolvimento de competências variadas. Os conteúdos são desenvolvidos respeitando uma evolução gradual de complexidade. Valoriza-se a autonomia do aluno e o estudo individual, e a interação entre alunos.
Lezzi, Gelson e outros. Matemática ciência e aplicações ed. Saraiva 2010. Síntese avaliativa: Este campo é concentrado no livro da 3ª série. Além disso, a abordagem da equação da reta é muito detalhada e fragmentada em um grande número de situações particulares. Metodologia de ensino-aprendizagem pauta-se pela apresentação dos conteúdos já sistematizados, entremeados de questões resolvidas, sem uma participação mais ativa aluno. O autor apresenta na pag.26, o gráfico da equação da reta, na pagina seguinte, ele detalha o desenvolvimento teórico, justificando o porquê de a e b serem coeficientes não nulos simultaneamente.
Goulart, Marcio Cintra – Matemática, Ed. Scipione, 2004. Síntese avaliativa: Os conteúdos são em geral apresentados de forma direta e pronta, seguidos de exercícios resolvidos e, sempre de grande quantidade de exercícios propostos. O autor optou pelo processo algébrico, estabelecendo uma correspondência entre equações, eventualmente inequações, e configurações geométrica, ele não faz menção ao processo de resolução pelo método da Regra de Sarrus.
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11. HIPÓTESES DE PESQUISA
A tese do “formalismo” é que a Matemática é, essencialmente, o estudo dos sistemas simbólicos formais.
“O formalismo considera a Matemática como uma coleção de desenvolvimentos abstratos em que os termos são meros símbolos e as afirmações são apenas fórmulas envolvendo esses símbolos, a base mais funda da matemática não está plantada na lógica, mas apenas numa coleção de sinais ou símbolos pré-lógicos”, Hilbert (apud EVES, 2004) e num conjunto de operações com esses sinais. Por esse ponto de vista a Matemática carece de conteúdos concretos e contém apenas elementos simbólicos, em especial na Geometria Analítica, que nos permite discutir questões como: saber se um ponto pertence a uma reta ou, caso contrário, a que distância se localiza dela; averiguar se dois ou mais retas são coincidentes ou distintas; se distintas, quando são concorrentes ou paralelas; se concorrentes, quais ângulos formam; se paralelas, a distância entre elas.
Assim, sem o acompanhamento dessa demonstração de consistência, não há “miósis” sem ”semiósis”.
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12. PROBLEMA
Como se dá a construção do conhecimento da equação geral da reta e ou alinhamento de três pontos pelo processo da Regra de Sarrus em Geometria Analítica e a Álgebra com o apoio dos livros didáticos indicados pelo MEC, pelos alunos do terceiro ano da turma 34, do ensino médio da Escola Estadual 9 de Maio, do Município de Imbé sem os desdobramentos demonstrativos.
Justificativa.
Inicialmente, cabe considerar que, devido à grande diversidade das representações semióticas dos objetos matemáticos, geralmente apresentados como símbolos, signos, códigos, tabelas, gráficos ou desenhos, Duval (2009) adota a noção de registro semiótico de um objeto matemático para se referir a uma modalidade qualquer de uma dessas representações.
Ele adota ainda a noção de sistema semiótico de representação, quando se refere a uma especial modalidade de registros semióticos como um conjunto de registros de representação. É importante, neste ponto, enfatizar que Duval entende a natureza e a representação dos objetos matemáticos da mesma forma que muitos filósofos e matemáticos, isto é, a partir da perspectiva que considera a Matemática como constituída por objetos abstratos. Ou seja, objetos não diretamente acessíveis à percepção sensorial e que demandam, para sua apreensão, o uso de representações perceptuais concretas constituídas, em geral, por sinais gráficos. (quadro n.1)
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Quadro n.1
Segundo a referida perspectiva, para se expressar conceitos e relações da Matemática são necessárias representações semióticas, as quais, para Duval, são coadjuvantes na compreensão destes conceitos, na forma daquilo que ele denomina de compreensão integrativa. Esta última, como se verá a seguir, está relacionada à articulação e à conversão entre registros grafados, a qual permite o desvelamento dos conteúdos do objeto por meio daqueles inerentes a cada registro, pois “toda representação é cognitivamente parcial em relação ao que ela representa e as representações de registros diferentes não apresentam os mesmos aspectos de um mesmo conteúdo conceitual” (DUVAL, 2010). Portanto, para a captura e compreensão do significado de um objeto matemático faz-se necessária uma coordenação mental envolvendo diversos representantes advindos de diferentes sistemas semióticos, pois frente à multiplicidade de formas de representação matemática, a apreensão de sua significação pode se tornar muito complexa. Esta complexidade se expressa na prática educacional, quando se enfrenta as situações do ensino de conceitos matemáticos que não possuem um significado a priori, como acontece no caso das Geometrias advindas dos sistemas formais, cujos objetos só possuem o significado instituído pelos matemáticos, por meio de convenções. Antes de se considerar como Duval elenca as funções cognitivas e as relaciona às conversões de registros semióticos, cabe registrar como ele entende as representações mentais: são as que permitem observar o objeto na ausência de qualquer significante perceptível. Elas são geralmente identificadas às ‘imagens mentais’ enquanto entidades psicológicas que têm relação com a percepção. Mas as representações mentais cobrem um domínio mais amplo do
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que aquele das imagens. É necessário incorporar não só os conceitos, as noções, as ‘idéias’, senão também as crenças e as fantasias, isto é, todas as projeções mais difusas e mais globais que refletem os conhecimentos e os valores que um indivíduo compartilha com o seu meio, com um grupo particular ou com seus próprios desejos (DUVAL, 2010).
Cabem ainda algumas observações sobre como Duval (2003) entende uma análise cognitiva de registros semióticos de uma atividade matemática. Esta análise é baseada na conversão entre dois registros, discursiva ou não, representante de um mesmo objeto matemático e se fundamenta na exploração das variações de congruência semântica. Nestes casos, “duas situações podem ocorrer. Ou a representação terminal transparece na representação de saída e a conversão esta próxima de uma situação de simples codificação - diz-se então que há congruência -, ou ela não transparece absolutamente e se dirá que ocorre a não congruência” (DUVAL, 2009)
Concordando com Duval, partiu-se da hipótese de que o sujeito, ao passar de um registro semiótico (por exemplo, do registro da língua natural) no qual o enunciado do problema-objeto se apresenta para outro (discursivo, ou não), deixa perceber neste registro de chegada, de que maneira entende o conteúdo dos objetos matemáticos arrolados no enunciado, isto é, as unidades elementares de significado relacionadas no enunciado do problema.
Uma das idéias mais poderosas de toda a matemática é a compreensão de como representar formas por equações, uma área que agora chamamos de geometria analítica. Sem essa ponte entre a geometria e a álgebra, não existiria o cálculo para a ciência, nem tomografia computadorizada para medicina, nem ferramentas automatizadas para indústria, nem computação gráfica para arte. Muitas coisas que tomamos como certas simplesmente não existiriam. De onde veio essa maravilhosa percepção? De quem foi a idéia, e quando aconteceu?
Quando se pensa em geometria analítica, qual a primeira coisa que vem à mente? Para a maioria das pessoas, são um par de retas coordenadas, um eixo x e um eixo y perpendiculares um ao outro, muitas vezes
chamado de sistema de coordenadas cartesianas. “Cartesianas” se referem ao
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matemático/filósofo francês René Descartes, a quem usualmente se dá o crédito pela invenção da geometria analítica. Ele de fato formulou a maior parte das idéias da geometria analítica, mas os sistemas de coordenadas retangulares como o conheceram hoje não foi uma delas.
Pelo fim do século XVI, François Viéte tentou destilar a essência da análise da análise geométrica dos gregos antigos representando quantidades com letras e relações com equações. Ao fazer isso, ele deu um enorme passo na direção de concentrar o poder da álgebra sobre os problemas da geometria. O necessário nesse ponto era a correta visão criativa.
Essa visão veio independentemente e quase simultaneamente de dois franceses, René Descartes, mas, antes, Pierre Fermat.
Descartes escreveu três apêndices ao Discurso do Método – sobre óptica, meteorologia e geometria. Seu principal instrumento gráfico era essencialmente o mesmo que o imaginado por Fermat: a variável independente, agora chamada x, era marcada ao longo de uma reta de referência horizontal, e a variável que o ângulo dependente, agora chamada y, era representado por segmento de reta fazendo um ângulo fixo com o segmento x. Descartes, talvez mais que Fermat, enfatizava que o ângulo escolhido era questão de conveniência e não precisava ser sempre um ângulo reto.
Descartes considerava seu método como uma síntese da lógica clássica, álgebra e geometria, em que ele descartava os excessos e consertava suas limitações. Seu objetivo real era redefinir a metodologia para buscar a verdade em todas as questões: a palavra “ciência” tinha uma conotação muito mais ampla a esse tempo do que tem agora.
A geometria de coordenadas (ou analítica) é um elo proeminente na cadeia histórica de grandes progressos matemáticos. Assim como o desenvolvimento da álgebra simbólica abriu caminho para a geometria analítica, também, por sua vez, a geometria analítica abiu o caminho para o cálculo. O cálculo por sua vez, abriu as portas para a física moderna e muitas outras áreas da ciência e da tecnologia. Nos últimas décadas, esse modo algébrico de descrever formas também sinergicamente com a velocidade do cálculo dos computadores, modernos, produzindo imagens visuais cada vez
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mais assombrosas visando a uma ampla gama de aplicações. Tudo isso repousa sobre a idéia verdadeiramente simples de dar a cada ponto do espaço um endereço numérico de modo que possamos descrever formas por números.
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13. DADOS DE OBSERVAÇÃO
A pesquisa foi organizada durante as minhas aulas de Matemática, para acontecer em dois momentos distintos, porém interligados, no primeiro momento a pesquisa literária, num segundo momento, a escolha da turma escolhida como laboratório de investigação, tinham o duplo objetivo de verificar como se dava a apropriação do conhecimento por parte dos discentes, dentro da Geometria Analítica, mais especificamente, a equação geral da reta, através da utilização da Regra de Sarrus.
Em nossa prática matemática, constatamos que a maioria dos alunos apresentava dificuldade em coordenar as várias representações geometria analítica, por exemplo, transformar o enunciado das questões que constava na língua natural para outras representações tais como: algébrica e gráfica, ou seja, o objeto representado, na maioria das vezes, não era identificado e/ou confundido em suas distintas formas de representação. Ao mesmo tempo, os alunos apresentavam dificuldade frente às conversões, principalmente quando a conversão abarcava os registros algébrico e gráfico. Além disso, a maior parte dos alunos utilizava análises pontuais em detrimento da identificação das variáveis visuais pertinentes.
13.1. DETERMINANDO A EQUAÇÃO GERAL DA RETA
A pesquisa permitiu concluir que, em sua maioria, os livros didáticos, não exigem o raciocínio matemático sobre a equação geral da reta, alinhamento de três pontos, apenas um livro didático faz menções de ligação entre determinantes, matrizes e sistemas Além do mais, os livros não privilegiam o tratamento gráfico, nem a demonstração do aparecimento da terceira coluna, com os valores da unidade um que não possibilita um entendimento global. Estes fatos podem acarretar prejuízos no ensino e aprendizagem do conceito de função da equação da reta, pois os livros
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didáticos são utilizados pela maioria dos professores como roteiro principal na organização e condução de suas aulas.
Os estudos em Geometria Analítica demonstram que uma reta possui representação geométrica no plano cartesiano e pode ser representada por uma equação. Euclides, em seus teoremas e postulados, fundamentalizava que uma reta passa por infinitos pontos e que por dois pontos passa somente uma única reta. Partindo desse princípio estabelecemos que em uma reta os pontos sejam colineares.
O desenvolvimento deste determinante resultará na equação geral da reta:
Tentamos a partir das aulas verificarmos possibilidades de integração entre álgebra e geometria, tendo como foco principal oferecer aos alunos estratégias diferenciadas de aprendizagem, utilizando para abordagem do conteúdo dentro dessas duas áreas da Matemática. Tal como sugere PCNs (2008), a geometria analítica, como é colocado muito bem nos permite claramente explorar as questões e assuntos sob o ponto de vista das duas áreas.
No entanto, observamos que os alunos apresentavam algumas dificuldades quanto à compreensão dos assuntos, pois para eles parecia ser informações demais. O fato é que em nosso entendimento, os alunos não estavam acostumados a ver os assuntos matemáticos a partir de diferentes enfoques, por exemplo, a condição de alinhamento de três pontos, não ajudava a compreender o porquê do determinante da matriz (3x3) formada pelas coordenadas desses três pontos, acrescida da coluna três com todos os elementos iguais a 1 (um). Interessante que os alunos não questionaram esta transposição para completar a matriz.
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13.2. ANÁLISE INTERPRETATIVA DOS RESULTADOS DA PESQUISA
O episódio anterior mostra que os alunos, por vezes, acostumados a certa linha de trabalho mais centrada na ação do professor, perdem habilidades e rotinas básicas como perguntar aos professores os porquês matemáticos, aqui nesta pesquisa estão sendo desconsiderados aqueles alunos, que motivos “n”, não prestam atenção nas explicações do professor e nem sequer fazem os exercícios propostos em aula.
Para aqueles que têm um objetivo, a pesquisa mostrou que hábitos como esses podem ser melhorados quando atividades diferenciadas são postas para os alunos. Como sugere a fala da aluna M, na minha validação da equação geral da reta: “Professor, é preciso explicar essa ligação entre a função do primeiro grau e equação geral da reta, não estou enxergando c”.
Um ponto interessante na aula foi à construção das duas demonstrações, a da condição de alinhamento de três pontos e da equação geral da reta, os alunos mostraram-se bastante participativos. Um ponto que contribuiu muito para isso foi revisar conteúdos passados no caso da atividade sobre semelhança de triângulos e cálculos de determinantes pela Regra de Sarrus.
Um fato que me chamou a atenção foi à fala de um dos alunos ao resolver atividades do livro didático: “professor é para fazer dos dois jeitos” aluno A. Essa fala clareou um ponto chave, os alunos já compreendiam que para problemas propostos havia abordagens diferentes para a mesma solução.
De certa forma percebemos que para casos particulares os alunos preferiam os métodos aritméticos ou geométricos, em casos mais gerais utilizavam a álgebra para encontrar valores desconhecido.
Em determinado momento pedimos aos alunos que identificassem dentre quatro equações quais correspondiam a equações de reta, alguns indicaram como corretas as equações iguais à zero, o que remetia a forma geral da equação ax+by+c=o, naturalmente isso induz ao erro de achar que toda equação igual ao zero é uma reta, ou nos casos em que o coeficiente c esteja no segundo membro não será de uma reta. No entanto, nos
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entusiasmou outro grupo que, numa diversidade de solução; apresentaram justificativas geométricas através da construção do gráfico, algébrica dos termos da equação.
O conceito de função é um instrumento próprio para o estudo das leis e a relevância conhecimento, bem como nas conexões internas à própria Matemática e situações do cotidiano.
A definição da equação fundamental da reta é uma das formas pelas quais podemos equacionar uma reta, mas somente para retas não verticais, pois é preciso saber o seu coeficiente angular.
Para que todas as equações fossem equacionadas independentemente das suas características e dos elementos pertencentes a ela, foram estipuladas outras formas de representação: forma geral, forma reduzida, e forma paramétrica.
Essas formas, além de facilitar a identificação da equação da reta, ajudam também na identificação de alguns elementos específicos das retas.
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14. REFLEXÕES FINAIS E POSSIBILIDADES
Este capítulo apresenta nossas impressões e percepções durante a realização desse trabalho, bem como a utilidade dessa pesquisa, as respostas que encontramos para as questões que a desencadearam, e algumas sugestões para futuras investigações.
Certo dia, buscando fundamentação para o trabalho, encontramos um trecho curioso que me fez repensar o uso das palavras que utilizo:
“Ensinar é um exercício de imortalidade. De alguma forma continuamos a viver naqueles cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela magia da nossa palavra. O professor, assim, não morre jamais...” (ALVES, 2003, p.6).
Nesse sentido, percebo a relevância de uma tomada de consciência, a fim de que a linguagem seja utilizada intencionalmente e, com isso, favoreça a aprendizagem.
Penso que nós, como docentes, devemos repensar nossas palavras, discursos e prática em sala de aula, pois, assim como as palavras formam elos comunicativos, interativos e afetivos entre nós e os alunos, elas podem também erguer barreiras, bloquear o raciocínio livre.
Nesse sentido, Alves sustenta que é fundamental mostrar ao aluno o prazer que se tem com o saber que se está ensinando.
Durante a realização dessa pesquisa, aconteceram momentos de contentamento e outros de frustração. A alegria tem origem no aprofundamento de meus conhecimentos, na busca por novos saberes, na procura por respostas que acalmassem minhas inquietações, na aventura do querer ir além. A frustração instalou-se em momentos que percebi a realidade, verdadeira e dura, que se mostraram no cotidiano escolar, quando me deparei com a repetição, as receitas prontas, as instruções “siga o modelo”, o medo e o desinteresse estudantil. Notei que os mesmos motivos que me trouxeram prazer na realização desse trabalho são os componentes que faltam para os estudantes ambicionarem voos mais altos pelos vales dos saberes matemático. Incentivos e convites a aventurarem-se, também não percebi. Isso realmente
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me entristeceu! Como eles poderão sentir-se à vontade para desejar ir mais longe a seus conhecimentos se nem mesmo sabem se isso é possível.
Quando pensei em realizar esta pesquisa para responder minhas inquietações não podia imaginar que encontraria também respostas que eu não buscava. Não podia supor o quanto viajaria pelo mundo da reflexão, tampouco prever que, analisando, refletiria sobre minha própria prática, sobre a linguagem que utilizo em sala de aula, sobre minha postura docente e sobre minhas intenções em relação aos meus próprios alunos. Observando e pensando analisei e refleti sobre minha própria conduta profissional.
As respostas que eu tanto busquei são importantes para mim e para este trabalho, mas ficaram pequenas diante das inúmeras oportunidades de reflexão que me proporcionaram em sua busca. É como quem deseja observar o mar em sua magnitude, mas, juntamente, tem a oportunidade de admirar um sublime pôr-do-sol, contemplando o esplendor da natureza.
Portanto, é preciso refletir, e digo isso porque acredito que precisamos nos fazer entender, estabelecer laços afetivos, interagi e inferir, fazer com que os alunos interajam, mas não dar respostas prontas, apenas provocar o raciocínio e incentivar a busca pelo saber.
Somente assim, o aluno também poderá desfrutar desse prazer em lidar com os saberes. Caso contrário, teremos fracassado em nossa missão.
Todavia, iremos restringir aos resultados das questões que nos conduziram até aqui, apontando as dificuldades evidenciadas pelos alunos no uso da simbologia e no trânsito entre os registros de representação.
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15. CONCLUSÃO
Como já foram expostas anteriormente, em nossa prática matemática, constatamos que a maioria dos alunos apresenta dificuldade em coordenarem as várias representações geometria analítica, por exemplo, transformar o enunciado das questões que constava na língua natural para outras representações tais como: algébrica e gráfica, ou seja, o objeto representado, na maioria das vezes, não era identificado e/ou confundido em suas distintas formas de representação. Ao mesmo tempo, os alunos apresentavam dificuldade frente às conversões, principalmente quando a conversão abarcava os registros algébrico e gráfico. Além disso, a maior parte dos alunos utilizava análises pontuais em detrimento da identificação das variáveis visuais pertinentes. As respostas ao problema central, acerca das maiores dificuldades percebida no uso da simbologia matemática em relação aos conteúdos da Geometria Analítica, especificamente equação geral da reta e o alinhamento de três pontos se apresentaram de modo mais acentuado, na manipulação direta ou indireta da representação. Acredito que tais dificuldades emergiram nos momentos em que a linguagem simbólica envolvida nessas representações foi “traduzida”, permitindo aos alunos uma posição cômoda, em que esperavam as respostas prontas, além de exercícios do tipo “siga o modelo”.
Contudo, não creio que isso tenha ocorrido somente agora, no 3° ano do Ensino Médio. Receio que esse fato possa ser reincidente, visto que a linguagem matemática aparece muito antes do Ensino Médio, no entanto, continua provocando dúvidas e resistência discente na sua utilização. Da mesma forma, a falta de ênfase no trânsito entre os diferentes registros de representação ocasiona as dificuldades discentes em perceber, por exemplo, que as representações algébrica ou gráfica de uma mesma função, são, na verdade, duas maneiras diversas de enxergar o mesmo objeto matemático. As representações gráficas no ensino da matemática, e mesmo de uma maneira geral, estão longe de se constituir num meio de representação simples e evidente, como se supõem geralmente.
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Particularmente, no ensino, privilegia-se muito mais a tarefa de leitura e identificação de dados retirados de representações gráficas para fins de comunicação em detrimento de outras atividades, tais como a própria construção destas representações. No caso da equação geral da reta e do alinhamento de três pontos vimos que elas não são representações autônomas, como, aliás, todas as representações que privilegiam a visualização. Isto quer dizer que elas se articulam de maneira explícita, ou implícita, com representações num outro registro. Esta articulação, que diz respeito à interação entre o gráfico e o enunciado verbal do problema, ou a escritura algébrica, é essencial já que será essa possibilidade que comandará a maneira de ler uma tabela. É a conversão entre os registros que possibilitará uma leitura global das representações gráficas.
Há que se considerar, ainda, a grande diversidade de representações gráficas e a riqueza de tarefas que se pode explorar em cada uma destas representações. Normalmente, este fato é negligenciado no ensino. Contudo, o simples fato de mudar de tarefa para o mesmo tipo de representação gráfica pode provocar mudanças de apreensão e, portanto, nos passos de leitura. Enfim, podemos destacar dois elementos importantes para analisar os movimentos de leitura de representações gráficas na educação matemática O primeiro, diz respeito à leitura cartesiana, aquela que busca a identificação rápida da resposta à questão solicitada. O papel das representações gráficas no ensino da matemática vai além, portanto, de ser aquele ligado a comunicação e organização de dados. O uso deste modo de representação implica num estudo do funcionamento semiótico e cognitivo a fim de se destacar os procedimentos metodológicos que geram aprendizagens matemática, implicando na associação do que é pedido com a identificação do dado, ou da informação, correspondente na representação, ou representada. O outro é a leitura global da representação, o que implica numa apreensão global da situação que é dada mediante a articulação dos muitos registros envolvidos.
Há que se considerar que esse trabalho foi realizado apenas com uma turma, portanto, tenho consciência de que não é possível fazer generalizações sobre as conclusões.
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Possivelmente com outras turmas ou outros professores, apareceriam resultados diversos. Por conseguinte, penso que o estudo desse tema possa ser retomado, para que outras situações sejam analisadas.
No que tange a aparente confusão entre os símbolos que expressam relação de ordem, pensamos que, apesar de sua apresentação ocorrer lá no Ensino Fundamental e serem utilizados em outros conteúdos como uma “ferramenta de apoio”, as dúvidas no seu uso surgem na tentativa docente de auxiliar os alunos, ao lhe fornecer respostas prontas por meio da “tradução” da linguagem matemática.
No nosso entender, os esquecimentos relativos à linguagem matemática refletem a sua falta de significado na vida do aluno. Nesse sentido, Alves (2003) comenta que:
Dentro de pouco tempo quase tudo aquilo que lhes foi aparentemente ensinado terá sido esquecido. Não por burrice. Mas por inteligência. O corpo não suporta carregar o peso de um conhecimento morto que ele não consegue integrar com a vida.
A respeito disso, pensamos que os atuais métodos de ensino abarcam parte da responsabilidade pelo esquecimento, pela falta de significado e, até mesmo, pelo desinteresse dos alunos. Essas idéias são claramente evidenciadas nas palavras de Alves:
Os métodos clássicos de tortura escolar como a palmatória e a vara já foram abolidos. Mas poderá haver sofrimento maior para uma criança ou para um adolescente que ser forçado a mover-se numa floresta de informações que ele não consegue compreender, e que nenhuma relação parece ter com a sua vida? (ALVES, 2003)
Com isso, consideramos que, com o passar do tempo, o que perdura dos conhecimentos matemáticos não permite nem mesmo o entendimento dos símbolos, muito menos a sua utilização contextualizada.
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Percebemos também que esta pesquisa é apenas o início de outras que poderão surgir, pois há que se aprofundar nesse tipo de estudo, ambicionando, talvez, investigar como ocorre o início da alfabetização matemática, especialmente enfocando símbolos que vão proporcionar, mais tarde, o suporte para a Geometria Analítica, e quais significados da linguagem matemática irá perdurar no decorrer da vida escolar. Também vemos a necessidade de se averiguar o quanto à linguagem matemática é significativo para o aluno, visto que é essa expressividade que pode impulsionar o interesse discente no uso de tal linguagem.
Nesse sentido, queremos esclarecer que não temos a pretensão de finalizar esse trabalho, pois acreditamos que uma pesquisa desse tipo não é conclusiva, e sim o primeiro passo para o surgimento de outras, ainda mais profundas e elucidativas, isso porque percebemos a realização desta monografia como a descoberta da ponta de um “iceberg”, tendo, assim, plena consciência de que a maior parte dele ainda não foi revelada.
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